Une introduction à l'expression des incertitudes de mesure

 

Table des matières

Une introduction à l'expression des incertitudes de mesure

Source : Contenu provenant d'une présentation Powerpoint utilisée pour des conférences
Auteur : M. Ouellette
Date : 2002-10-25

Aperçu

  • Quelle est l'importance de l'incertitude?
  • Statistiques : Les fondements — rien de compliqué
    • Minimum de jargon statistique
    • Minimum d'algèbre
    • Aucune modélisation des systèmes
    • Pas de calcul différentiel ou intégral
    • C'est promis!
  • Comment l'utiliser (à l'endos d'une enveloppe)
  • Un exemple élaboré

Pourquoi est-ce important?

  • 17025
  • VIM (concernant la traçabilité)
  • Aucune incertitude d'indiquée = pas de traçabilité!

On ne doit pas se laisser emporter!

  • ÉVALUEZ l'incertitude seulement au niveau qu'il vous est nécessaire. On ne doit pas en faire une science.
  • Acceptez le fait que vous ne serez jamais absolument certains de l'incertitude.
  • Concentrez-vous surtout sur les facteurs importants; ne vous occupez pas trop des sources d'incertitude mineures.

Statistiques de base : L'écart type

  • Les mesures répétées ne sont pas toutes identiques.
  • L'écart type nous donne une idée de la dispersion des lectures de part et d'autre de la moyenne.
  • Approx. 2/3 (c.-à-d, 68 %) de toutes les lectures sont à moins d'un écart type de la moyenne.
ecart par rapport a la moyenne
 
  • Approx. 95.5 % de toutes les lectures se situent à moins de 2 écarts types de la moyenne.
ecart types par rapport a la moyenne
 
calcul de l'ecart type
calcul de l'ecart type 2

Écart type expérimental de la moyenne : Exemple

  • Si l'écart type est de 5,93 et
  • si le nombre de mesures répétées (n) est de 10, on a donc
  • l'écart type expérimental de la moyenne (stdm) est donné par :

Stdm

= Écart type/racine (n)
= 5,93/racine (10)
= 1,88

Quelle est l'importance de l'écart type expérimental de la moyenne?

Le stdm fait partie intégrante de notre budget des incertitudes lorsque nous évaluons l'incertitude de la moyenne d'un ensemble de mesures répétées aléatoires.

Très utile! Nous en reparlerons plus tard

Répartitions de mesures

La répartition d'un ensemble de mesures peut être représentée par différentes répartitions des fréquences. Exemples :

Répartitions de mesures : répartition normale Gaussienne
Répartitions de mesures : répartition normale rectangular
différentes répartitions des fréquences

Répartitions de mesures : répartition normale (Gaussienne)

  • La plupart des valeurs se trouvent près de la moyenne.
  • On trouve progressivement moins de valeurs plus on s'éloigne de la moyenne.
  • Répartition très commune dans la nature.
Répartitions de mesures : répartition normale Gaussienne
 

Répartitions de mesures : Répartition uniforme (rectangulaire)

  • Les mesures sont réparties de façon égale dans l'intervalle.
  • Il s'agit d'un bon choix lorsqu'on n'a aucune idée de la vraie répartition!
Répartitions de mesures : répartition normale rectangular
 

Première étape de l'évaluation de l'incertitude

Identifier les facteurs pouvant contribuer à l'incertitude

Faire une liste de facteurs. Tenir compte de…

Étalons de référence et matériel de mesure; p. ex.,
  • Incertitude d'étalonnage
  • Dérive à long terme
  • Stabilité pendant la mesure
  • Résolution et qualité de échelles
  • Linéarité
  • Numérisation
  • Sensibilité au transport et à la manutention
  • Problèmes de conception (comme la différence de longueur des bras des balances)
  • Parallaxes
  • Interpolation entre les points d'étalonnage
  • Système de lecture
  • Transport

Cette liste n'est pas complète. Ces facteurs ne s'appliquent pas nécessairement tous. Ces commentaires s'appliquent aux diapositives suivantes

Conditions environnementales, p. ex.,

  • Température absolue
  • Variation de la température dans le temps
  • Gradient spatial de la température
  • Rayonnement de chaleur de l'opérateur, etc.
  • Rayonnement de chaleur de l'opérateur, etc.
  • Bruits, vibration
  • Contamination
  • Illumination
  • Pression de l'air, composition, écoulement
  • Gravité
  • Interférence électromagnétique
  • Variations transitoires dans l'alimentation électrique

Préparation des mesures, p. ex.,

  • Réchauffement
  • Erreurs de cosinus
  • Ouverture optique
  • Tensions parasites
  • Dispersion du courant
  • Effets des charges
  • Câblage, blindage, filtrage
  • Rigidité des systèmes mécaniques
  • Propriétés des sondes de mesure

Objet de mesure, p. ex.,

  • Sensibilité au stress provoquée par les mesures
  • Rugosité de la surface
  • Conductivité
  • Poids, dimensions, forme
  • Magnétisme
  • Stabilité
  • Propreté
  • Résistance interne
  • Distortion pendant les mesures
  • Autochauffage (p. ex., mesure du courant)
  • Nombre de bornes
  • Orientation

Procédure de mesure, p. ex.,

  • Répétabilité, préparation
  • Nombre et ordre des mesures
  • Durée des mesures
  • Choix du principe de mesure
  • Magnétisme
  • Alignement
  • Choix des références et appareils
  • Serrages, fixtures, sondages
  • Vérification de la dérive
  • Mesures de renversement
  • Multiples vérifications de redondance
  • Stratégie

Logiciels et calculs, p. ex.,

  • Arrondissement
  • Algorithmes
  • Nombre de chiffres significatifs utilisés dans les calculs
  • Échantillonnage
  • Filtrage
  • Interpolation
  • Extrapolation
  • Traitement des points discordants

Définition de la caractéristique de mesure, p. ex.,

Définition de la caractéristique de mesure

P. ex., la définition du « diamètre » pour la mesure des objets qui ne sont pas parfaitement ronds.

D= 0,5 (Max + Min)?
D= Moyenne de plusieurs mesures?
D= Autre? (p. ex. Balles —> Diamètre maximum?)

Constantes physiques et facteurs de conversion, p. ex.,

  • Incertitude des valeurs physiques utilisées
  • Coefficient thermique
  • Coefficient de puissance
  • Différentes propriétés de l'instrument de mesure de travail
  • Différentes propriétés de l'air ambiant
  • Force de gravité locale

Effets attribuables au métrologiste; p. ex.,

Différences de jugement de différent opérateurs.

le systeme sèst-il stabilisé
De quelle facon intégreriez-vous les pics d'èpaulement ci-dessous?

De quelle façon integreriez-vous les pics d'épaulement ci-dessous?

Remarque : On ne devrait pas avoir besoin d'inclure « l'erreur de l'opérateur ». Il s'agit d'une aberration que l'on doit corriger avant de prendre les mesures.

Sommaire de quelques facteurs pouvant contribuer à l'incertitude

  • Étalons de référence et matériel de mesure
  • Conditions environnementales
  • Montage utilisé pour prendre les mesures
  • Objet à mesurer
  • Procédé de mesure
  • Logiciels et calculs
  • Définition de la caractéristique de mesure
  • Constantes physiques et facteurs de conversion
  • Effets attribuables au métrologiste

Deuxième étape : Choisir les unités à utiliser pour exprimer l'incertitude

Les unités peuvent être :

  • ppm ou % du résultat
  • unités de mesure
  • autre

De façon générale, les unités choisies n'ont pas d'importance; mais on doit être constant : pommes + pommes = pommes

Tout se résume en fin de compte à un écart type de la moyenne, ou l'équivalent (appelé incertitude normalisée).

Troisième étape : Évaluer l'importance des facteurs contribuant à l'incertitude

1) Type A, normale

Les facteurs du type A sont ceux pour lesquels vous avez des données statistiques. Utilisez ces données si vous les avez.

P. ex., utilisez l'écart type expérimental de la moyenne (stdm) pour exprimer l'incertitude normalisée de la moyenne de mesures répétées (de préférence, dix ou plus).

2) Type B

Les facteurs du type B sont ceux pour lesquels vous ne possédez pas de données statistiques, p. ex.,

  • Spécifications du fabricant
  • Jugement professionnel
  • Incertitude du certificat d'étalonnage de votre étalon de référence

GUM : « Il est impossible de remplacer la réflexion critique, l'honnêteté intellectuelle et les compétences professionnelles »

Recueillir l'information de toutes les sources possibles.

Réduire l'incertitude à une incertitude normalisée.

Mais l'information n'est pas toujours disponible à un niveau de confiance de 68,3 %. Elle a ordinairement un niveau de confiance plus élevé. C'est ce qu'on appelle l'incertitude élargie lorsqu'elle provient d'une répartition normale.

2) Type B, normale

Dans le cas d'une répartition normale, il n'y a aucun problème!

Diviser simplement l'incertitude élargie par un diviseur, en fonction du niveau de confiance auquel l'incertitude élargie est exprimée.

Diviseur Niveau de confiance
0,676 50 %
1 68.27 %
1,645 90 %
1,960 95 %
2 95.45 %
2,576 99 %
3 99.73 %

P. ex., selon le certificat d'étalonnage de notre étalon de masse :

« L'incertitude de la masse indiquée est de ±26 mg à un niveau de confiance de 95 % en supposant une répartition normale. »

L'incertitude normalisée est de : ±26 mg ÷ 1,960 = ±13 mg

Diviseur Niveau de confiance
1,960 95 %
2 95,45 %
2,576 99 %
3 99,73 %

P. ex., selon le certificat d'étalonnage de notre résistance :

« L'incertitude élargie de la résistance indiquée est de ±30 Ω avec un facteur de couverture, k, of 3. »

L'incertitude normalisée est de :

±30 Ω ÷ 3 = ±10 Ω

Ici, le « facteur de couverture » signifie la même chose que « diviseur ».

2) Type B, uniforme

Les répartitions ne sont pas toutes normales.

Les répartitions rectangulaires (c.-à-d., uniformes) sont également très communes.

Probabilité uniforme que la valeur réelle se trouve dans l'intervalle de a- to a+.

Répartitions de mesures : répartition normale rectangular

Dans le cas des répartitions rectangulaires (c.-à-d., uniformes), l'incertitude normalisée, u,est l'aire indiquée en gris.

L'incertitude normalisée, u, is est l'intervalle intégrale, a, divisé par √3 or ˜1,73.

Répartitions de mesures : répartition normale rectangular

Exemple, lisibilité des jauges (résolution).

gauge readability

Si la plus petite subdivision est égale à 5 unités de mesure, et si l'on peut lire la jauge à l'oeil nu à 1/2 subdivision près, la valeur réelle de la jauge peut se situer n'importe où dans l'intervalle a = ±5 / 2 = ±2,5 avec une probabilité égale.

Incertitude normalisée,

u, = ±2.5 / √3 = ±1,4 meas. units
ou, si vous préférez,
u = ±5 / √12 = ±1,4 meas. units.

Exemple : Température ambiante

La probabilité que la température se situe à un point quelconque dans l'intervalle entre les limites de contrôle a+ = 24 °C and a- = 22 °C est approximativement uniforme.

Standard Uncertainty, u,±= ±1 °C / √3 = ±0.58 °C

Température ambiante

N'oubliez pas que les incertitudes doivent toutes être exprimées dans les mêmes unités!

Si l'incertitude de la résistance est exprimée en ppm, et si le coefficient thermique de la résistance est de 0,5 ppm/°C, l'incertitude normalisée est donc :

u = ±0,58 °C x (0,5 ppm per °C) = 0,29 ppm de la lecture de Ω.

standard uncertainty

2) Type B,répartition inconnue

Aucune information sur la répartition?

On peut ordinairement supposer qu'il s'agit d'une répartition rectangulaire (uniforme)

Incertitude normalisée, u, = ±(largeur d'intervalle maximale) / √3

P. ex., une spécifcation incomplète relativement à un instrument :

« Selon la certification, les plaques de support du micromètre sont parallèles ±0.02 mm près »

Aucun facteur de couverture ni de niveau de confiance;

Aucune distribution —> la spécification est-elle basée sur l'écart type?

Incertitude normalisée, u, = ±0.02 mm / √3 = ±0.012 mm

Quatrième étape : Documenter dans le détail!

Votre budget des incertitudes est un document vivant qui est révisé au fur et à mesure que votre procédure évolue et que votre compréhension du budget se complète. Par conséquent :

Écrivez le développement de chacune des évaluations d'incertitude énumérées.

Classez cette information avec le budget d'incertitude.

Récapitulation des quatre premières étapes

1. Identifier les facteurs pouvant contribuer à l'incertitude de mesure.

2. Choisir des unités d'incertitude constantes.

3. Évaluer l'importance de chacun des facteurs pouvant contribuer à l'incertitue, et exprimer chacun de ces facteurs sous forme d'une incertitude normalisée.

4. Documenter le fondement de vos évaluations.

La partie la plus difficile est terminée!

Cinquième étape : Combiner les incertitudes normalisées en un seul nombre

Employer la méthode de la résultante quadratique :

  • Calculer le carré de chaque incertitude normalisée, u
  • Faire le somme des carrés
  • Prendre la racine carrée de la somme

Cela donne l'incertitude nornmalisée combinée, uc, de votre mesure, à un niveau de confiance de ˜68 %.

P. ex., l'incertitude norm., u, en ppm de la lecture :

  1. Étalonnage de l'étalon de référence : 0.75 ppm
  2. Dérive à long terme de l'étalon de référence : 1.16 ppm
  3. Répétabilité, n=5: 0.07 ppm

Incertitude normalisée combinée, uc, = racine (0,752 + 1,162 + 0,072) = 1,4 ppm

c.-à-d., confiance de ˜68 % que la valeur réelle se situe à ±1.4 ppm près du résultat indiqué

Sixième étape : Élargir l'incertitude normalisée combinée

Que doit-on faire pour indiquer l'incertitude à un niveau de confiance différent de ~68 %?

Pas de problème! Il suffit de multiplier l'incertitude normalisée combinée, uc, par un facteur de couverture convenable, k. Le produit s'appelle l'incertitude combinée élargie, Uc.

Coverage factor, k Level of confidence
0,676 50 %
1 68,27 %
1,645 90 %
1,960 95 %
2 95,45 %
2,576 99 %
3 99,73 %

Exercice : L'incertitude normalisée combinée uc, est de 1.4 ppm de la lecture;

Nous voulons indiquer l'incertitude à un niveau de confiance « d'environ «approximately 95 %. »

Incertitude combinée élargie,
Uc, = 1,4 ppm x 2 = 2.8 ppm

Coverage factor, k Level of confidence
0,676 50 %
1 68,27 %
1,645 90 %
1,960 95 %
2 95,45 %
2,576 99 %
3 99,73 %

Septième étape : Vérifier

La méthode simplifiée précédante est basée sur plusieurs suppositions, incluant :

Les facteurs dominants contribuant à l'incertitude sont connus avec une certitude raisonnable;

  • Type A : Données suffisantes (≥10 points)
  • Type B : Pas de conjectures à tout hasard

Idientifier les facteur dominants.

  1. Étalonnage de l'étalon de référence : 0,75 ppm
  2. Dérive à long terme de l'étalon de référence : 1,16 ppm
  3. Répétabilité, n=5: 0,07 ppm

Le facteur dominant est la dérive. Si on doit deviner à tout hasard où s'il n'y a que quelques données, on doit obtenir une évaluation plus fiable (ou plus conservatrice) si possible. Sinon, suivre les étapes détaillées dans le GUM sur les degrés de liberté.

  1. Étalonnage de l'étalon de référence : 0,75 ppm
  2. Dérive à long terme de l'étalon de référence : 1,12 ppm
  3. Répétabilité, n=5 : 0,07 ppm

Le petit n (5) est suffisant pour la répétabilité parce que ce facteur n'est pas dominant.

Se concentrer sur les facteurs les plus importants : La dérive à long terme et l'étalonnage de l'étalon de référence.

Huitième étape : Indiquer le résultat

Pas recommandé :

« Le résultat mesuré est de 10 00,051Ω ±2.8 ppm un niveau de confiance d'approximativement 95 %, k=2. »

Mieux :

« Le résultat mesuré est de 10 000,051Ω ±0.028Ω un niveau de confiance d'approximativement 95 %, k=2 »

Encore mieux :

« Le résultat mesuré est de 10 000,051Ω ±0.028Ω. L'incertitude indiquée a été élargie en employant un facteur de couverture k=2 correspondant à un niveau de confiance d'approximativement 95 %, en supposant une répartition normale. »

Récapitulation de toutes les étapes

  1. Identifier les facteurs contribuant à l'incertitude de mesure.
  2. Choisir des unités d'incertitude constantes.
  3. Évaluer l'importance de chaque facteur contribuant à l'incertitude, et l'exprimer sous forme d'incertitude normalisée.
  4. Documenter le fondement de vos évaluations.
  5. Combiner les incertitudes normalisées.
  6. Élargir l'inc. norm. élargie pour représenter la confiance souhaitée.
  7. Vérifier.
  8. Indiquer le résultat.

Exemple plus complet du budget des incertitudes

Pour l'étalonnage d'une résistance de 10 kΩ par intercomparaison des tensions dans l'huile
Source d'incertitude Valeur
±ppm
Répartition de probabilité Diviseur Incertitude normalisée
± ppm
Répétabilité 0.071 Normale 1 0,071
Incertitude d'étalonnage de la résistance étalon 1.5 Normale 2 0,75
Dérive non corrigée de la résistance étalon depuis le dernier étalonnage 2.0 Rectangulaire √3 1,155
Effet de la température du bain d'huile 0.5 Rectangulaire √3 0,289
Effet du voltmètre sur la mesure de la résistance étalon 0.2 Rectangulaire √3 0,115
Incertitude normalisée combinée, uc espace vide Présumée normale
(k=1)
espace vide 1,418
Incertitude combinée élargie, Uc espace vide Présumée normale
(k=2)
espace vide 2.9

Provenance des nombres

  • Répétabilité à partir de 5 mesures répétées en ppm de la valeur nominale : +10,4, +10,7, +10,6, +10,3, +10,5 —> écart type de la moyenne de 0,071 ppm.
  • Étalonnage de la résistance étalon à partir du certificat d'étalonnage précisant que l'incertitude de la valeur indiquée est de ±1,5 ppm à un niveau de confiance d'approximativement 95 % (k=2); 1,5 ppm/2 = 0,75 ppm.
  • La dérive de l'étalon de référence est basée sur plusieurs années d'historique d'étalonnage et de comparaisons avec un étalon de vérification. On a déterminé la courbe de la tendance à partir des données historiques, qu'on s'est ensuite servie pour corriger la valeur de l'étalon de référence en fonction de la date d'utilisation. Selon l'analyse des résidus de régression, l'incertitude de la correction est de ±2ppm.
  • Les effets thermiques ont été évalués à partir des limites de contrôle du bain d'huile agité (±0,2 °C) et des spécifications du fabricant concernant le coefficient thermique de la résistance (pire scénario : 2,5 ppm/ °C). On a mesuré l'homogénéité du bain et elle était négligeable (‹ 0,05 °C).
  • Les effets du voltmètre sont limités à la linéarité et à la résolution parce que l'on s'en sert comme dispositif de transfert seulement. D'après les spécifications du fabricant, les effets combinés de la linéarité et de la résolution sont de ±0.2 ppm dans la plage de mesures. On tient compte de l'incertitude deux fois : une fois pour chaque résistance.